附录 A　数学、代码与术语速查

本附录只收纳正文中反复使用、适合随时查阅的工具，不引入新的课程主线。

概率与期望

$${\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}[f(x)]=\sum _{x}p(x)f(x)\text{或}\int p(x)f(x)dx.$$

条件分布 $p(s_{t+1}\mid s_t,a_t)$ 表示在当前状态和动作已知时，下一个状态的可能性。世界模型通常学习的正是这种条件关系。

梯度与链式法则

若损失 $\mathcal{L}$ 依赖中间变量 $z=f_{\theta }(x)$，则

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta }=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \theta }.$$

多步 rollout 会让梯度穿过重复使用的动力学模型。梯度爆炸时先检查序列长度、归一化和梯度裁剪，不要只调学习率。

KL 与熵

$$D_{\mathrm{KL}}(q\parallel p)={\mathbb{E}}_{q(z)}[\log q(z)-\log p(z)].$$

KL 衡量两个分布的差异，不是对称距离。RSSM 中，posterior 使用当前观测，prior 只使用历史与动作；KL 让 prior 学会在没有未来观测时预测 posterior。

熵

$$\mathcal{H}(p)=-{\mathbb{E}}_{p(x)}[\log p(x)]$$

衡量分布的不确定性。熵高不等于模型正确，只表示模型给出的分布更分散。

PyTorch 与 JAX/Flax

任务	PyTorch	JAX/Flax
参数存放	nn.Module 内部状态	显式参数树
前向计算	y = model(x)	y = model.apply(params, x)
梯度	loss.backward()	jax.grad(loss_fn)
优化器	optimizer.step()	updates, state = tx.update(...)
随机数	全局或 Generator	显式传递 PRNGKey
编译	torch.compile	jax.jit
批处理	张量批维	jax.vmap

阅读 JAX 项目时，先找到参数树、随机 key 和纯函数边界；阅读 PyTorch 项目时，先找到 Module、forward 和优化器更新。

常用术语

中文	英文	缩写
世界模型	world model	WM
动力学模型	dynamics model	—
循环状态空间模型	recurrent state-space model	RSSM
模型预测控制	model predictive control	MPC
交叉熵方法	cross-entropy method	CEM
联合嵌入预测架构	joint embedding predictive architecture	JEPA
视觉语言动作模型	vision-language-action model	VLA
鸟瞰图	bird's-eye view	BEV
分布外	out of distribution	OOD
从仿真到现实	sim-to-real	—

术语首次出现在正文时使用“中文（英文，缩写）”，后文优先使用缩写或中文短名。