E.3.2 策略梯度与优势函数

前置知识：E.3.1 导数、梯度与链式法则——你需要知道梯度的定义。

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策略梯度从哪里来

上一节我们学会了用梯度调整参数来优化目标函数。现在把这个思路用到强化学习里。策略梯度的核心想法可以先用一句话理解：如果一个动作带来了高回报，就提高它在相应状态下被选中的概率；如果带来了低回报，就降低它的概率。

假设在某个状态 $s$ 下，策略选择动作 right 的概率是：

$$\pi_\theta(\text{right}\mid s)=0.2.$$

这次智能体选了 right，并最终得到回报 $G=10$。打个比方：如果一个篮球运动员在某个位置投篮命中了，教练就会鼓励他多在那个位置出手——策略梯度做的事与此类似。

策略梯度常见形式是：

$$\nabla_\theta J(\theta) \approx G_t \nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t\mid s_t).$$

它可以拆成两部分：

• $G_t$（累计回报）：这次结果好不好，决定更新的力度和方向。
• $\nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t\mid s_t)$（对数概率的梯度）：怎样调整参数才能让这个动作更可能（或更不可能）发生。

如果 $G_t$ 是正的，就沿着”提高该动作概率”的方向更新；如果 $G_t$ 是负的，就反方向更新。

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优势函数：比”好不好”更精确的判断

策略梯度给出了”好动作概率上调、坏动作概率下调”的大方向，但它有一个实际问题：用原始回报 $G_t$ 作为信号时，所有正回报的动作都会被鼓励，即使某些动作只是”碰巧拿到了正分”，实际上并不比平均水平好。这就好比考试全班平均 90 分，一个学生考了 80 分——虽然分数本身不算差，但相对而言并不值得表扬。优势函数就是为了解决这个”相对好坏”的问题而引入的。

$$V(s)=8.$$

这次动作拿到回报 $10$，它不只是“好”，而是比平均水平好 $2$：

$$A(s,a)=10-8=2.$$

如果另一次拿到 $6$，虽然仍是正回报，但比平均差：

$$A(s,a)=6-8=-2.$$

优势函数的作用就是回答：这个动作相对于当前状态的平均水平，到底更好还是更差？

策略梯度中常把 $G_t$ 换成优势估计 $\hat{A}_t$，这样"好多少"或"差多少"的信息更精确：

$$\nabla_\theta J(\theta) \approx \hat{A}_t \nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t\mid s_t).$$

用优势函数替代原始回报，能显著降低梯度估计的方差，让训练过程更稳定。

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小结

本篇把梯度工具用到了策略优化上：

概念	公式	作用
策略梯度	$\nabla_\theta J \approx G_t \nabla_\theta\log\pi_\theta(a_t\mid s_t)$	好结果对应动作概率上升
优势函数	$A(s,a)=R-V(s)$	把"绝对好坏"变成"相对好坏"
优势加权	$\nabla_\theta J \approx \hat{A}t \nabla\theta\log\pi_\theta(a_t\mid s_t)$	相对平均更好的动作被加强

策略梯度给出了方向，优势函数让信号更精确。但还有一个悬而未决的问题：每次更新应该走多大步？下一篇讨论 PPO 裁剪和 Adam 优化器如何控制更新幅度。

下一篇：E.3.3 PPO 裁剪与 Adam —— 控制策略更新幅度和梯度噪声。