E.4.2 交叉熵与 KL 散度

前置知识：E.4.1 自信息、熵与探索——你需要知道熵的定义。

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上一节我们用熵衡量了单个策略的随机程度。但训练中更常见的场景是对比两个分布：模型预测的分布 vs 真实标签的分布，或者新策略 vs 旧策略。这就需要两个新工具——交叉熵和 KL 散度。

交叉熵：用"错误的地图"走路的代价

交叉熵衡量的是"用错误分布做预测的代价"——分类模型和奖励模型用它做训练损失。当真实分布是 $P$ 而你用 $Q$ 来预测时，交叉熵告诉你付出的代价有多大。

想象你拿着一张不太准确的地图找路。如果地图和实际路况差得不多，你只是多绕了一点路；如果地图严重失真，你可能会完全迷路。交叉熵衡量的就是这种"用错误的地图走路的代价"。数学上定义为：

$$H(P,Q)=-\sum_x P(x)\log Q(x).$$

它和熵长得很像，区别在于 $\log$ 里面用的是 $Q$ 而不是 $P$——也就是说，你在用"错误"的分布来编码。

举一个分类任务的例子。假设正确答案是第一个类别：

$$P=[1,0].$$

模型预测为：

$$Q=[0.8,0.2].$$

因为 $P=[1,0]$，交叉熵只剩正确类别那一项：

$$H(P,Q)=-\log 0.8.$$

如果模型更自信地预测正确类别，比如 $Q=[0.95,0.05]$，损失变成 $-\log 0.95$，比 $-\log 0.8$ 更小。预测越准确，交叉熵越低——这就是为什么它被广泛用作分类模型的训练损失。在 RLHF 中，奖励模型、偏好模型和策略模型的训练都离不开它。

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KL 散度：两个分布之间的"惊讶程度"

交叉熵告诉我们"用一个分布去预测另一个分布要付多大代价"。但如果把这个代价减去真实分布自身的熵，剩下的部分就纯粹反映"两个分布之间的差异"——这就是 KL 散度要解决的问题。KL 散度衡量两个分布的差异，PPO 和 RLHF 用它来限制策略不要变化太大。

直觉上，KL 散度衡量的是：如果你的真实信念是分布 $P$，但不得不按分布 $Q$ 行事，你会有多"意外"。公式为：

$$D_{KL}(P\|Q)=\sum_x P(x)\log\frac{P(x)}{Q(x)}.$$

$\frac{P(x)}{Q(x)}$ 是两个概率的比值——如果 $P$ 和 $Q$ 对某个 $x$ 看法一致，比值接近 1，$\log 1=0$，没有惊讶。如果分歧很大，比值偏离 1，KL 散度就会变大。

看一个 RL 中的实际场景。PPO 和 RLHF 经常需要比较新旧策略。假设旧策略是：

$$\pi_{old}=[0.5,0.5].$$

两个候选新策略分别是：

$$\pi_{new}^{(1)}=[0.6,0.4], \qquad \pi_{new}^{(2)}=[0.9,0.1].$$

直觉上，新策略 2 离旧策略更远。用 KL 散度量化：以旧策略为 $P$，新策略 1 为 $Q$：

$$D_{KL}(\pi_{old}\|\pi_{new}^{(1)}) =0.5\log\frac{0.5}{0.6}+0.5\log\frac{0.5}{0.4}.$$

以新策略 2 为 $Q$：

$$D_{KL}(\pi_{old}\|\pi_{new}^{(2)}) =0.5\log\frac{0.5}{0.9}+0.5\log\frac{0.5}{0.1}.$$

第二个值更大，说明新策略 2 偏离旧策略的程度更激进。

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KL 散度为什么不对称

理解了 KL 散度的基本用法后，一个容易踩的坑是：KL 散度不满足交换律。也就是说 $D_{KL}(P\|Q)\neq D_{KL}(Q\|P)$。方向的选择不是随意的——PPO 和 RLHF 中使用不同方向，强调不同类型的偏差。

$$D_{KL}(P\|Q)\neq D_{KL}(Q\|P).$$

理解不对称性，考虑：

$$P=[0.99,0.01], \qquad Q=[0.5,0.5].$$

从 $P$ 出发看 $Q$（即 $D_{KL}(P\|Q)$）：真实世界几乎总是发生第一个动作，但你的模型 $Q$ 却把一半的概率分给了第二个动作。这种"本来很确定却预测得很模糊"的错误，惩罚较大。

从 $Q$ 出发看 $P$（即 $D_{KL}(Q\|P)$）：真实世界两个动作都有可能，但你的模型 $P$ 几乎把所有概率给了第一个。这种"本来很模糊却预测得很确定"的错误，性质完全不同。

所以在使用 KL 散度时，方向的选择不是随意的。PPO 里用 $D_{KL}(\pi_{old}\|\pi_{new})$，意思是"从旧策略的视角看新策略变了多少"；RLHF 里用 $D_{KL}(\pi_\theta\|\pi_{ref})$，意思是"从当前模型的视角看它离参考模型多远"。不同方向强调不同类型的偏差。

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小结

本篇引入了两个衡量分布之间距离的工具：

概念	解决什么问题	核心公式	RL 中的角色
交叉熵	用错误分布做预测的代价有多大	$H(P,Q)=-\sum_x P(x)\log Q(x)$	分类模型、奖励模型的训练损失
KL 散度	两个分布之间差多远	$D_{KL}(P|Q)=\sum_x P(x)\log\frac{P(x)}{Q(x)}$	PPO/RLHF 中限制策略漂移
KL 不对称	KL 方向不同含义不同	$D_{KL}(P|Q)\neq D_{KL}(Q|P)$	PPO 和 RLHF 使用不同方向

交叉熵和 KL 散度的关系——$D_{KL}(P\|Q)=H(P,Q)-H(P)$——是下一篇理解 PPO、RLHF 和 DPO 的关键桥梁。

下一篇：E.4.3 PPO、RLHF 与 DPO 中的信息论 —— 把交叉熵和 KL 用到对齐训练中。