E.4.1 信息论基础：自信息、熵与探索

前置知识：本篇不需要信息论基础，但建议先读完附录导读和E.2.1 概率基础。

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信息论在回答什么问题

强化学习里的策略本质上是一个概率分布——给定状态 $s$，策略为每个动作分配一个概率：

$$\pi(\cdot\mid s).$$

一旦策略变成了概率分布，三个问题自然浮现：

1. 这个策略有多随机？（答案：熵）
2. 模型预测的分布和目标分布差多少？（答案：交叉熵）
3. 新策略和旧策略差多远？（答案：KL 散度）

这三个量贯穿了从策略梯度到 DPO 的整条链路。我们从最简单的概率事件开始，一步步走到它们在 RL 中的应用。

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概率越小，信息量越大

想象你在玩一个猜数游戏：对方从 1 到 8 之间选了一个数，你需要用”是/否”问题把它猜出来。如果对方选了 3，你需要问几个问题？”比 4 小吗？””比 2 大吗？””是 3 吗？”——正好 3 个。而如果范围只有 1 到 2，1 个问题就够了。

范围越大，结果越难猜，猜中之后获得的信息也越多。这其实就是自信息的直觉：事件越不可能发生，它一旦发生，带给你的”惊喜”就越大。

数学上，自信息（self-information）用一个简洁的公式刻画这种”惊喜程度”：

$$I(x)=-\log_2 p(x).$$

这里的 $\log_2$ 是以 2 为底的对数，$p(x)$ 是事件 $x$ 发生的概率。前面的负号保证结果为正数（因为 $\log$ 对小于 1 的数取值是负的）。

举几个例子。如果 $p(x)=1/2$（像抛硬币正面朝上）：

$$I(x)=-\log_2(1/2)=1.$$

如果 $p(x)=1/8$（像刚才猜数游戏里猜中一个特定数字）：

$$I(x)=-\log_2(1/8)=3.$$

概率从 $1/2$ 降到 $1/8$，自信息从 1 涨到 3。这个”越少见越令人惊讶”的性质，正是后面熵和 KL 散度的基石。

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熵——衡量策略有多”拿不定主意”

自信息衡量的是单个事件的惊喜程度，但策略面对的是一整组动作的概率。我们需要一个总的指标来衡量”策略整体上有多不确定”——这就是熵要解决的问题。

熵（entropy，用字母 $H$ 表示）的定义是所有动作的自信息的加权平均：

$$H(P)=-\sum_x p(x)\log_2 p(x).$$

这里 $\sum_x$ 的意思是"把所有可能的动作 $x$ 加起来"，每一项乘以对应的概率 $p(x)$ 作为权重。

看两个具体策略。策略 A 是完全犹豫不决的：

动作	概率
left	$0.5$
right	$0.5$

策略 B 则几乎已经下定决心了：

动作	概率
left	$0.9$
right	$0.1$

策略 A 的熵是：

$$H(A)=-0.5\log_2 0.5-0.5\log_2 0.5=1.$$

策略 B 的熵约为：

$$H(B)=-0.9\log_2 0.9-0.1\log_2 0.1\approx0.47.$$

A 的熵更大，说明它更"拿不定主意"，也就是更愿意探索不同的动作；B 的熵更小，说明它更偏向某个动作，行为更可预测。

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熵奖励——让策略"别太早做决定"

光知道怎么算熵还不够，关键是它能派上什么用场。在实际训练中，策略很容易过早地锁定某个动作——这就是"过早收敛"问题。为此，我们在训练目标里加入熵奖励，鼓励策略在训练早期保持开放心态。

一种常见对策是在训练目标里加入熵奖励：

$$J(\pi)=\mathbb{E}[G]+\beta H(\pi).$$

这里 $\mathbb{E}[G]$ 是期望回报（$\mathbb{E}$ 表示取平均），$H(\pi)$ 是策略的熵，$\beta$ 是一个调节系数，控制"多鼓励探索"。

用一个数字例子说明。两个策略的平均回报和熵如下：

策略	平均回报	熵	$\beta=0.5$ 时的目标
A	$10$	$1.0$	$10+0.5\times1=10.5$
B	$10.3$	$0.1$	$10.3+0.5\times0.1=10.35$

B 的原始回报更高，但 A 更愿意探索。加入熵奖励后，A 的综合得分反而超过了 B。

这背后的道理很简单：训练初期价值估计还不准确，与其让策略赌在一两个动作上，不如让它多试几种选择。等价值估计可靠了，策略自然会变得更确定。

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熵的单位：bit 和 nat

上面的熵公式里用到了对数，而对数的底数决定了熵的单位。如果用 $\log_2$（以 2 为底），单位叫 bit；如果用自然对数 $\ln$（以 $e \approx 2.718$ 为底），单位叫 nat。

两者之间差一个常数倍：$1\text{ nat} = \log_2 e \approx 1.443\text{ bit}$。机器学习的论文和代码里几乎都用自然对数，因为它和指数函数、softmax、交叉熵损失的数学形式更契合。

例如公平硬币的熵，用 $\log_2$ 算：

$$H=-0.5\log_2 0.5-0.5\log_2 0.5=1\text{ bit}.$$

用自然对数算：

$$H=-0.5\ln0.5-0.5\ln0.5\approx0.693\text{ nat}.$$

数值不同，但表达的是同一个物理量，只是单位不同——就像 1 公里和 1000 米的关系。后面除非特别说明，我们都用自然对数。

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为什么最大熵对应均匀分布

一个自然的追问：熵什么时候最大？答案很直觉——当所有选项的概率都相等时。

如果两个动作的概率是 $[0.5,0.5]$，我们完全猜不到策略会选哪个；如果是 $[0.99,0.01]$，几乎可以确定它选第一个。熵恰好捕捉了这种”猜不到”的程度：

$$H([0.5,0.5])=1\text{ bit},$$

而

$$H([0.9,0.1])\approx0.47\text{ bit}.$$

所以”鼓励熵”并不是鼓励策略胡乱行动，而是让它在训练早期保持开放心态，多尝试不同选择。等价值估计更可靠后，策略自然会收窄到高回报的动作上。

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从 softmax 到策略分布

到目前为止，我们假设策略的概率分布是已知的。但在实际应用中，策略是一个神经网络，它输出的不是概率，而是一组原始分数。我们需要一种方法把这些分数转换成合法的概率分布——softmax 函数就是为了解决这个问题而引入的。

例如对于两个动作，网络可能输出 logits $z=[2,1]$。softmax 函数把这些分数转换成合法的概率——所有值都在 0 到 1 之间，且加起来等于 1：

$$\pi(a_i\mid s)=\frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}.$$

这里 $e^{z_i}$ 是指数运算，分母 $\sum_j e^{z_j}$ 把所有动作的指数值加起来做归一化。算出来：

$$\pi(a_1\mid s)=\frac{e^2}{e^2+e^1}\approx0.73, \qquad \pi(a_2\mid s)\approx0.27.$$

softmax 是策略网络和语言模型最常用的最后一层。后面所有的熵、交叉熵和 KL 散度，都会作用在 softmax 输出的这类概率分布上。理解了这一层，就能看懂为什么策略梯度、PPO 和 DPO 都在反复比较不同动作（或不同回答）的对数概率。

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小结

本篇从"概率事件有多大惊喜"出发，逐步建立了信息论在 RL 中的核心工具链：

概念	解决什么问题	核心公式	RL 中的角色
自信息	单个事件有多大"惊喜"	$I(x)=-\log p(x)$	低概率事件包含更多信息
熵	策略整体有多不确定	$H(P)=-\sum_x p(x)\log p(x)$	衡量探索程度，鼓励多样性
熵奖励	防止策略过早锁定某个动作	$J=\mathbb{E}[G]+\beta H(\pi)$	训练目标中加入探索鼓励项
最大熵	熵最大时分布长什么样	均匀分布时熵最大	"鼓励熵" = 鼓励保持开放心态
softmax	把神经网络输出变成合法概率分布	$\pi(a_i\mid s)=e^{z_i}/\sum_j e^{z_j}$	策略网络和语言模型的输出层

这一篇只讨论了"单个分布"的性质。下一篇开始比较两个分布——模型预测 vs 真实标签、新策略 vs 旧策略——为此需要交叉熵和 KL 散度。

下一篇：E.4.2 交叉熵与 KL 散度 —— 衡量两个分布之间的距离。